ecuaciones de la parabola con vertice del origen

COLEGIO DE BACHILLERES DE      CHIAPAS . 

NOMBRE DE LAS ALUMNAS: ELIZAMA YANETH JUAREZ ROBLERO

PAULINA YASURI ZAVALA MEJIA

MARIANA XINATLES MARTINEZ

TEMA: ECUACION DE LA PARABOLA CON VERTICES EN EL ORGEN

PROFE: LIZBETH RUIZ

GRADO: 3       GRUPO:B

ECUACION DE LA PARABOLA CON VERTICE EN EL ORIGEN

Una parábola  es la sección cónica que resulta de cortar un cono con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono es igual al presentado por su directriz, es decir el plano es paralelo a la recta. En este artículo veremos  como  encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el origen.

   

Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax2donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».

Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta el desarrollo de la geometría analítica, la relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba presente en los trabajos de Apolonio.

Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (P, 0). La directriz es por tanto, la recta vertical que pasa por (-P, 0). A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración se tiene:

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0). A continuación se muestran las fórmulas que se utilizan para el cálculo de ecuaciones, coordenadas del foco y la directriz. 

FORMA DE LA ECUACION DE UNA PARABOLA              

Sabemos que la geometría analítica estudia las formas o figuras geométricas basadas en ecuaciones y coordenadas definidas sobre un Plano Cartesiano.

Pues bien, una parábola es una forma geométrica.

Esta forma geométrica, la parábola, expresada como una ecuación, cuenta con una serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, y son:

Vértice (V): Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado también eje de simetría).

Eje focal (o de simetría) (ef): Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos brazos  y pasa por el vértice.

Foco (F): Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en el eje focal al interior de los brazos de la misma y a una distancia p del vértice.

Directriz (d):   Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de los brazos de la parábola.

Distancia focal   (p): Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y foco, así como entre vértice y directriz (ambas distancias son iguales).

Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la parábola.

Cuerda focal: Cuerda que pasa por el foco.

Lado recto  (LR): Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.

Para ilustrar las definiciones anteriores, veamos la siguiente gráfica de una parábola:

PARABOLA CON VERTICE EN EL ORIGEN

Una parábola es el conjunto de todos los puntos  P en un plano que equidistan (Que están a la misma distancia) de un

Punto fijo  F(el foco) y una recta fija D(la directriz) que están en el plano.

El punto F se conoce como el foco de la parábola, y la recta D es su Directriz. En consecuencia, una parábola es el conjunto de puntos P Para los que:

                             d(F,d) = d(P,D)

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

El lugar geométrico de los puntos cuya relación de distancias a un punto y una recta fijos es constante, recibe el nombre de sección cónica o simplemente cónica, la cual resulta de la intersección de un cono (circular recto) y un plano.

El punto fijo se llama foco de la cónica, la recta fija directriz y la relación constante excentricidad que, normalmente, se representa por la letra e.

Las secciones cónicas se clasifican en tres categorías, según su forma y propiedades. Estas se establecen de acuerdo con los valores de la excentricidad e.

• Si e < 1, la cónica se llama elipse.
• Si e = 1, la cónica se llama parábola.
• Si e > 1, la cónica se llama hipérbola.

Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz. En otras palabras, la parábola es el conjunto de todos los puntos p del plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco (F) y de una recta fija llamada directriz (D).

La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola "p".

La recta que pasa por el foco (F) y es perpendicular a la directriz (D), se denomina eje de simetría de la parábola. El punto de intersección de la parábola con su eje de  simetría se llama vértice (V).    

PARABOLA CON VERTICE FUERA DEL ORIGEN

Consideramos ahora una parábola cuyo eje es paralelo a, pero no en coincidencia con un eje coordenado. En la Fig. C, el vértice está en (h, k) y el foco está en (h +a, k). Introducimos otro par de ejes por una traslación hasta el punto (   h, k). Puesto que la distancia del vértice al foco es a, tenemos de inmediato la ecuación

y'2 = 4ax'

Para escribir la ecuación de la parábola respecto a los ejes originales, aplicamos las fórmulas de traslación, y obtenemos así

(  y -k)2 = 4a (x -h)
En esta ecuación observamos, y también en la figura, que cuando a > 0, el factor x -h del segundo miembro debe ser mayor que o igual a cero. Por eso, la parábola abre hacía la derecha. Para a < 0, el factor x -h debe ser menor o igual a cero, y por eso la parábola abriría hacia la izquierda. El eje de la parábola está sobre la recta y -k = 0. La longitud del latus  rectum es igual al valor absoluto de 4a, y entonces fácilmente se pueden localizar los puntos extremos. 
Figura E

Se puede hacer una discusión semejante si el eje de una parábola es paralelo al eje y. Consecuentemente, establecemos la siguiente.

La ecuación de una parábola con vértice en (h   ,k) y foco en (h +a ,k) es

(y - k)2 = 4ª (x - h)

La parábola abre hacia la derecha si a > 0 y abre hacia la izquierda si a < 0.

La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y foco en (h, k + a) es

(x - h)2 = 4ª (y - k)

La parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a <0.

Cada una de las Ecuaciones (2.1) y (2.2) está en la forma estándar. Cuando h = 0 y k = 0, se reducen a las ecuaciones más sencillas de la sección precedente. Si la ecuación de una parábola está en la forma estándar, rápidamente se puede trazar su gráfica. El vértice y los extremos del latus rectum son suficientes para un trazo burdo. Marcar unos cuantos puntos adicionales ayudaría, por supuesto, a mejorar la precisión.

Notamos Que cada una de las Ecuaciones (2.1) y (2.2) es cuadrática en una variable y lineal en la otra variable. Este hecho se puede expresar más vívidamente si efectuamos la elevación al cuadrado y trasponemos los términos para obtener las formas generales

x2 + Dx +Ey +F = 0

y2 + Dx +Ey +F = 0

Inversamente, una ecuación de la forma (2.3) o (2.4) se puede presentar en una forma estándar, siempre y cuando E ¹ 0 en (2.3) y D ¹ 0 en (2.4).

2.3.1 EJEMPLOS

EJEMPLO 1. Trazar la gráfica de la ecuación

y2 + 8x - 6y + 25 = 0

Solución. La ecuación representa una parábola porque y está elevada al cuadrado y x a la primera potencia. La gráfica se puede trazar más rápidamente si primero reducimos la ecuación a una forma estándar. Así,

y2 - 6y + 9 = -8x - 25 + 9

(y - 3)2 = -8 ( x + 2)
Figura F

El vértice está en (-2, 3) puesto que 4ª=-8 y a= -2, el foco está a dos unidades a la izquierda del vértice. La longitud del latus rectum  , igual al valor absoluto de 4ª, es 8. Por eso el latus rectum se extiende cuatro unidades arriba y abajo del foco. La gráfica está trazada en la Figura F

EJEMPLO 2. Construir la gráfica de la ecuación

x2 - 6x - 12y - 51 = 0

Solución. La ecuación dada representa una parábola donde x aparece al cuadrado y y a la primera potencia. Primero expresamos la ecuación en forma estándar.

x2 - 6x +9 = 12y -51 + 9

(x - 3)2 = 12 ( y + 5)

Figura G

E vértice está en (3, 5). Puesto que 4ª = 12, a= 3. De manera que el foco está 3 unidades arriba del vértice, o sea, en (3, -2). La longitud del latus rectum es 12, y esto hace que las coordenadas de sus extremos sean (  -3, -2) y (9, -2).    

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